Pauli 矩阵

阐述

Pauli 矩阵一般用于描述一个自旋 $1/2$ 的粒子的自旋状态：

\sigma_x=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \quad \sigma_y=\left(\begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right) \quad \sigma_z=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) .

其物理含义为在 $x,y,z$ 三个方向上的自旋物理量，分别有对应的本征态。

而对于非本征态，它们的乘积相当于在 Bloch 球上沿对应轴旋转 180 度。基于这些矩阵，还可以定义其他的旋转矩阵：

R_w(\theta)=e^{-i\theta\sigma_w/2}

特别的， $R_w(\pi)=\sigma_w$ 。任何矩阵都可以分解为 $R_z(\theta_3)R_y(\theta_2)R_z(\theta_1)$ 的形式。